Un tornero fabrica cien ejes de acero de "10 milímetros". Si los mides con un buen micrómetro, no hay dos iguales: 9.981, 10.012, 10.004. No hay ningún error. Esa dispersión es un hecho de todo proceso, de todo material y de todo sensor.
Ahora apila cinco de esas piezas una tras otra dentro de una caja de engranajes. ¿Seguirá cabiendo la pila en la carcasa? Una encuestadora llama a mil personas y dice que el 52% votará que sí, "con un margen de error de tres puntos". Un ensayo clínico dice que el resultado es "significativo". El pronóstico dice 30% de probabilidad de lluvia. Todas son la misma pregunta: dada la dispersión, ¿cuánto debo confiar en este número?
Quien ha estudiado probabilidad y estadística ya no ve un número suelto. Ve la forma de la dispersión que hay detrás. Esta pieza construye esa mirada con ocho cosas que puedes manejar: dados, tolerancias, encuestas, una trampa de ensayos clínicos, una creencia que se actualiza y una pila de piezas. Aviso de vocabulario: lo que aquí llamamos desviación estándar se dice desviación típica en España y en muchos libros de texto; es lo mismo.
Quién la cursa: casi todos los estudiantes de psicología, ingeniería y ciencias, normalmente en el primer o segundo año. En psicología suele llamarse "Estadística" o "Análisis de datos en psicología"; los informáticos la vuelven a encontrar antes del aprendizaje automático.
Para qué sirve: decidir qué creer, y hasta dónde confiar en una medición, cuando los resultados son inciertos.
Viene después de: Cálculo (34/32), que ayuda con las distribuciones continuas, aunque las ideas de esta pieza casi no piden más que aritmética.
Lleva a: Métodos de investigación en psicología (34/20), que usa todo esto en el laboratorio, y Aprendizaje automático (34/30), que lo necesita directamente. También aparece en Ciencia de materiales y manufactura (en inglés, 34/13: control de procesos y defectos), Ingeniería de sistemas (en inglés, 34/22: confiabilidad) y Seguridad informática (en inglés, 34/33: aleatoriedad y adivinar claves).
Lo que esta pieza te da y lo que no: no podrás diseñar un ensayo clínico después de leerla. Sí verás por qué "significativo" no quiere decir "importante", por qué una muestra más grande vence a una conjetura más lista y por qué tantas cantidades reales se parecen a una campana. Como primeras lecturas más fáciles, la biblioteca en inglés tiene Probability: How to Not Fool Yourself (en inglés, 12/03), Statistics for Reading the World (en inglés, 12/05) y Bayes' Theorem (en inglés, 12/17); esta pieza va más a fondo.
Una variable aleatoria es un número que sale de un proceso que no puedes predecir en cada intento. El gran paso es dejar de preguntar "¿qué saldrá?" y preguntar "¿cuál es la forma de lo que podría salir?". Lanza dos dados y suma: el 7 es seis veces más probable que el 2 o el 12, así que la forma es una carpa. Repite muchas veces y la carpa aparece.
Sin JavaScript: dos dados suman 7 con probabilidad 6/36 y suman 2 o 12 con probabilidad 1/36 cada uno. El total medio es 7 y la desviación estándar es de unos 2.42.
Dos números resumen una forma. La media es su punto de equilibrio: 7 para dos dados. La desviación estándar (la "dispersión") dice cuánto se alejan los valores, en un caso típico, de la media: unos 2.4 para dos dados, es decir, los totales suelen caer entre más o menos 5 y 9. La varianza es la desviación estándar al cuadrado, y es la que se suma limpiamente cuando combinas cosas independientes.
No toda forma es una campana. En el Sorteo Extraordinario de Navidad de España participan 100,000 números (del 00000 al 99999) y cada uno tiene exactamente la misma probabilidad de llevarse el Gordo: 1 entre 100,000, o 0.001%. Esa variable aleatoria es completamente plana: ningún número es "más probable" porque lleve más tiempo sin salir ni porque termine en 5.
Ahora la forma que más importa. Las cantidades medidas (diámetros de ejes, estaturas, el ruido de un sensor) tienden a formar la curva normal, la campana (en español también se la llama campana de Gauss). Su gran comodidad es una regla fija: cerca del 68.3% de los valores cae a una desviación estándar de la media, el 95.4% a dos y el 99.7% a tres. Los ingenieros la usan todos los días. Supón que la especificación del eje es 10.00 mm ± 0.05 mm. Mueve el proceso y mira qué porcentaje de piezas se desecha.
Sin JavaScript: un proceso centrado con desviación estándar de 0.025 mm (los límites de la especificación están justo a ±2 desviaciones estándar) desecha cerca del 4.55% de las piezas. Si reduces la dispersión a 0.01 mm, se desecha cerca del 0.00006%. Si desplazas el promedio 0.02 mm fuera del centro con dispersión de 0.02 mm, se desecha cerca del 6.7%.
Los graduados guardan dos lecciones. Primera: la dispersión, no el promedio, decide la calidad: un proceso perfectamente centrado pero ancho igual desecha piezas. Segunda: estar descentrado cuesta mucho aunque la dispersión sea buena. Por eso las fábricas vigilan las dos cosas.
¿Por qué tantas cosas tienen forma de campana? La respuesta es uno de los teoremas más útiles de las matemáticas. Toma casi cualquier proceso aleatorio, por torcido que sea, y promedia unas decenas de datos independientes. Los promedios se amontonan en una campana centrada en la media verdadera, con una dispersión que se encoge como 1/√n. Las primeras versiones se deben a De Moivre en 1733 (para lanzamientos de moneda) y a Laplace, cuya versión general data de hacia 1810. Elige una fuente torcida y arrastra el tamaño de la muestra.
Sin JavaScript: para la fuente torcida (media 1, desviación estándar 1) el promedio de n = 30 datos tiene desviación estándar 1/√30 = 0.183, y los 3,000 promedios forman una campana casi normal alrededor de 1.
Con n = 1 ves la fuente tal cual. Con n = 30 hasta la torcida es casi una campana. La predicción (la curva) usa solo dos números de la fuente: su media y su desviación estándar. La forma de la fuente se olvida. Por eso una medición hecha de muchos errores pequeños e independientes es normal, y por eso buena parte de la estadística puede darse el lujo de suponer campanas.
En palabras: el promedio de n datos oscila menos que un solo dato, en un factor de la raíz cuadrada de n. Para reducir la oscilación a la mitad necesitas cuatro veces más datos, no el doble. Es el hecho caro más discreto de toda la ciencia experimental.
No puedes preguntarle a todo el mundo, así que preguntas a n personas y tratas la proporción de "sí" como una estimación. ¿Qué tan lejos puede estar? El error estándar de la sección anterior lo responde. Para una proporción p la oscilación es √(p(1−p)/n), y un intervalo de confianza del 95% es la estimación más y menos unas dos de esas oscilaciones. Con n = 1,000 y una proporción cercana a la mitad, eso da ±3.1 puntos porcentuales: el conocido "margen de error" (a veces llamado "error muestral" en los informes de las encuestadoras).
La redacción tiene sutileza, y el interactivo la vuelve concreta. "95% de confianza" es una afirmación sobre el método, no sobre un intervalo concreto: si repites el procedimiento una y otra vez, unos 95 intervalos de cada 100 capturarán el valor verdadero. Aquí la verdad es, en secreto, 52%. Haz 100 encuestas.
Sin JavaScript: con 1,000 personas por encuesta el margen de error es de unos 3.1 puntos; si haces 100 encuestas, unos 95 de los intervalos cubren el valor verdadero. Con 4,000 personas el margen se reduce a la mitad, a cerca de 1.5 puntos.
Fíjate en dos cosas. Más o menos cinco de cada cien intervalos fallan aunque todo se haga bien. Y cuadruplicar la muestra de 1,000 a 4,000 solo reduce el intervalo a la mitad. Una encuesta de un país y una de un pueblo necesitan el mismo tamaño de muestra para la misma precisión, siempre que la muestra sea aleatoria. El peligro real no es el margen de error; es una muestra que no es aleatoria en absoluto, algo que ninguna fórmula arregla.
Una prueba de hipótesis pregunta si los datos serían sorprendentes si no estuviera pasando nada. El valor p es la probabilidad, suponiendo que no pasa nada, de obtener un resultado al menos tan extremo como el tuyo. Lanza una moneda 100 veces y obtén 60 caras: para una moneda justa, la probabilidad de un reparto al menos así de desigual, en cualquier dirección, es de cerca del 5.7%. No es la probabilidad de que la moneda sea justa, ni la probabilidad de que el resultado se deba "al azar". La Asociación Estadounidense de Estadística (ASA) publicó en 2016 una declaración formal poco habitual al respecto, con seis principios. Dos de ellos: los valores p no miden la probabilidad de que una hipótesis sea verdadera, y un valor p no mide el tamaño ni la importancia de un efecto.
La trampa clásica es probar muchas cosas. Con el umbral habitual de 0.05, una prueba sobre una "nada" verdadera sale "significativa" una vez de cada 20 por pura suerte. Si pruebas veinte cosas sin relación, la probabilidad de que al menos una se encienda es 1 − 0.9520, cerca del 64%. Pruébalo: cada pulsación prueba veinte efectos que, por construcción, no existen.
Sin JavaScript: veinte pruebas de puro ruido al nivel de 0.05 dan al menos un falso "descubrimiento" cerca del 64% de las veces, y en promedio una de cada 20 pruebas.
Si solo informas del que se encendió, tienes un titular y ningún hallazgo. Es parte de la razón por la que muchos resultados publicados no se repiten: en el intento de replicación de 100 estudios de psicología que hizo en 2015 el Open Science Collaboration, el 97% de los originales tenía resultados estadísticamente significativos, pero solo el 36% de las réplicas.
La regla de Bayes responde otra pregunta: dados los datos, ¿cómo debe moverse mi creencia? Parte de una creencia previa, multiplícala por lo bien que cada posibilidad explica los datos y vuelve a normalizar. Supón que pruebas piezas y quieres conocer la tasa de defectos. Al principio no sabes nada (cualquier tasa de 0% a 100% es igual de probable) y vas añadiendo piezas una por una.
Sin JavaScript: tras 20 piezas buenas y ningún defecto, una creencia inicial plana da una tasa de defectos más plausible cercana a 0%, un promedio de 4.5% y un rango creíble del 90% de aproximadamente un cuarto de punto porcentual a 13%. Veinte piezas limpias no bastan para descartar una tasa de defectos de uno entre ocho.
Frecuentistas y bayesianos discrepan en la filosofía: unos tratan la probabilidad como frecuencia a largo plazo y nunca se la asignan a una hipótesis; los otros, como grados de creencia que los datos actualizan. En la práctica se usan ambas, a menudo en el mismo proyecto, y con muchos datos suelen coincidir. La versión bayesiana tiene aquí una ventaja práctica: tras veinte piezas limpias dice con honestidad "todavía no podemos descartar uno entre ocho".
La correlación (llamada r) mide qué tan de cerca se mueven dos cantidades a lo largo de una recta, de −1 a +1. La regresión ajusta la mejor recta a través de la nube (por mínimos cuadrados, como en Álgebra lineal, 34/34). Ambas son resúmenes, y cualquier resumen puede esconder la historia. En 1973 el estadístico Francis Anscombe creó cuatro conjuntos de datos con, a dos decimales, la misma media, la misma dispersión, la misma r (0.82) y la misma recta (y = 3 + 0.5x). Mira cada uno.
Sin JavaScript: los cuatro conjuntos de Anscombe tienen media de x = 9, media de y = 7.50, correlación 0.816 y recta y = 3.00 + 0.50x. El conjunto 1 es una recta con ruido, el 2 una curva, el 3 una recta con un dato atípico y el 4 un solo punto lejano que crea toda la pendiente.
Los números coinciden y las historias no: una recta con ruido, una curva, una recta con un punto rebelde, una columna vertical sostenida por un solo punto. Dibuja siempre primero.
La otra trampa es la famosa. Las ventas de helados y los ahogamientos suben juntos, porque el calor del verano impulsa ambos. Un factor de confusión (una tercera variable oculta) hace que dos cosas se muevan juntas sin que ninguna cause la otra. El remedio que conocen los graduados es la asignación aleatoria: si una moneda decide quién recibe el tratamiento, nada más puede quedar ligado sistemáticamente a él. Donde no se puede asignar al azar, las afirmaciones causales necesitan mucho más que una recta trazada por una nube de puntos.
Cinco piezas, de 10 mm ± 0.1 mm cada una, se alinean en un conjunto. ¿Cuál es lo peor que puede desviarse el total? El apilamiento del peor caso suma las tolerancias: ±0.5 mm. Es seguro y caro, porque supone que todas las piezas están en su extremo y en la misma dirección a la vez. Si las piezas varían de forma independiente, se suman las varianzas, así que las desviaciones estándar se suman en cuadratura: raíz de la suma de cuadrados, √5 × 0.1 = ±0.224 mm. Con cinco piezas es menos de la mitad de la cifra del peor caso.
Cuando las fórmulas se complican, los ingenieros usan Monte Carlo: dejan que la computadora (o el ordenador, en España) arme el conjunto diez mil veces con piezas aleatorias y cuentan cuántas veces falla. Aquí la tolerancia de cada pieza se trata como tres desviaciones estándar. Elige cuántas piezas apilar.
Sin JavaScript: cinco piezas de ±0.1 mm (tres desviaciones estándar) dan un límite de peor caso de ±0.5 mm, un límite de raíz de suma de cuadrados de ±0.224 mm y, en la simulación, solo cerca del 0.3% de los conjuntos supera el límite de raíz de suma de cuadrados; ninguno se acerca a 0.5 mm.
La salvedad honesta es que la raíz de la suma de cuadrados supone que las piezas varían de forma independiente y están centradas. Una herramienta que se desgasta en el mismo sentido en todas las piezas rompe ese supuesto, y también un lote de un solo proveedor. Los ingenieros no están de acuerdo sobre cuándo confiar en el apilamiento estadístico y cuándo en el del peor caso; los diseños críticos para la seguridad suelen exigir el peor caso.
La confiabilidad usa la misma aritmética. Un sistema que necesita todas sus partes es un sistema en serie, y las probabilidades se multiplican: diez componentes que funcionan el 99% de las veces dan 0.9910 ≈ 90.4% para el conjunto. Si añades un respaldo en paralelo, para fallar deben fallar los dos: dos unidades que funcionan el 90% de las veces dan 1 − 0.1² = 99%. Estas dos reglas explican por qué los aviones duplican sistemas y por qué las máquinas complicadas exigen componentes muy confiables.
Nada de lo que mides es exacto, así que cada número es una forma. Resume una forma con su centro y su dispersión, confía más en los promedios en proporción a la raíz cuadrada de la muestra, lee un intervalo de confianza como una promesa sobre un método, trata un valor p como una medida de sorpresa y dibuja los datos antes de creer en una correlación.
Prueba esto: la próxima vez que veas una encuesta o un titular que diga "significativo", busca el tamaño de la muestra y pregunta cuántas cosas se probaron. Luego, en el widget de dados de arriba, añade cuatro dados y mira cómo la carpa se vuelve campana.
Fuentes. La regla de la curva normal (68.3%, 95.4%, 99.7%), el teorema central del límite, los intervalos de confianza, la prueba binomial, la posterior Beta, el apilamiento por raíz de la suma de cuadrados y la confiabilidad en serie y en paralelo son resultados estándar de los libros de texto (Montgomery y Runger; MIT 18.05); cada número mostrado se recalculó en código. Wasserstein y Lazar, "The ASA's Statement on p-Values: Context, Process, and Purpose", The American Statistician (2016). Open Science Collaboration, "Estimating the reproducibility of psychological science", Science (2015): 97% de los originales significativos frente a 36% de las réplicas. Anscombe, "Graphs in Statistical Analysis", The American Statistician (1973). Primeras formas del teorema central del límite: De Moivre (1733) y Laplace (c. 1810), según historias recientes como Ulyanov, "From classical to modern central limit theorems" (arXiv 2405.19828). Sorteo Extraordinario de Navidad: 100,000 números del 00000 al 99999, probabilidad de 1 entre 100,000 por número (Wikipedia en español, "Sorteo Extraordinario de Navidad"). Adaptada de la pieza en inglés Probability & Statistics: Reasoning with Uncertainty.
Para profundizar. Los libros y el curso de arriba; la declaración de Wasserstein y Lazar es gratuita y breve (doi.org/10.1080/00031305.2016.1154108, en inglés).